1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của chính nó trên cạnh huyền

Trong tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bởi tích của cạnh huyền cùng hình chiếu của cạnh góc vuông bên trên cạnh huyền.

Bạn đang xem: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Trong tam giác ABC vuông tại A ta có: b2 = a.b"; c2 = a.c"

2. Một vài hệ thức liên quan đến con đường cao


a) Định lý 1

trong một tam giác vuông, bình phương mặt đường cao ứng với cạnh huyền bởi tích nhì hình chiếu của cạnh góc vuông trên cạnh huyền

trong tam giác ABC vuông tại A ta có: h2 = b".c".

b) Định lý 2

vào một tam giác vuông, tích của nhị cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền với đường cao tương ứng

trong tam giác ABC vuông trên A ta có: a.h = b.c

c) Định lý 3

vào tam giác vuông, nghịch hòn đảo của bình phương con đường cao ứng với cạnh huyền bởi tổng những nghịch đảo của bình phương nhì cạnh góc vuông.

vào tam giác ABC vuông tại A ta có:

*

3. Các dạng toán thường gặp về một số hệ thức về cạnh và con đường cao trong tam giác vuông

 

*

Dạng 1: Tính độ dài các đoạn thẳng trong tam giác vuông

Phương pháp giải: đến tam giácABC vuông tại A, đường cao AH. Nếu biết độ dài hai vào sáu đoạn thẳng AB, AC, BC, HA, HB, HC thì ta luôn tính được độ dài bốn đoạn thẳng còn sót lại bằng vấn đề vận dụng các hệ thức (1)→(5)

Dạng 2: Chứng minh những hệ thức tương quan đến tam giác vuông

Phương pháp giải: Sử dụng những hệ thức về cạnh và đường cao một cách hợp lý và phải chăng theo hướng:

Bước 1. Chọn những tam giác vuông tương thích chứa những đoạn thẳng bao gồm trong hệ thức.

Bước 2. Tính những đoạn thẳng đó nhờ hệ thức về cạnh và mặt đường cao.

Bước 3. Liên kết các giá trị trên nhằm rút ra hệ thức đề xuất chứng minh.

Chú ý: hoàn toàn có thể vẽ thêm hình phụ để tạo thành tam giác vuông hoặc chế tạo thành con đường cao trong tam giác vuông từ đó vận dụng các hệ thức.

4. Ví dụ cố gắng thể

Cho tam giác ABC vuông trên A, mặt đường cao AH. Biết AB:AC = 3:4 và AB + AC = 21cm.

a) Tính các cạnh của tam giác ABC.

b) Tính độ dài những đoạn AH, BH, CH.

Hướng dẫn:

*

Do đó AB = 3.3 = 9 (cm); AC = 3.4 = 12 (cm).

Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Py – ta – go ta có:

BC2 = AB2 + AC2 = 92 + 122 = 225, suy ra BC = 15cm

b) Tam giác ABC vuông tại A, ta tất cả AH.BC = AB.AC, suy ra

*

AH2 = BH.HC. Đặt bảo hành = x (0 2 = x(15 - x) ⇔ x2 - 15x + 51,84 = 0 ⇔ x(x - 5,4) = 9,6(x - 5,4) = 0 ⇔ (x - 5,4)(x - 9,6) = 0 ⇔ x = 5,4 hoặc x = 9,6 (loại)

Vậy bh = 5,4cm. Từ kia HC = BC - bảo hành = 9,6 (cm).

Chú ý: Có thể tính bảo hành như sau:

AB2 = BH.BC suy ra

*

5. Bài xích tập từ luận

Bài 1: Tính x, y trong những trường đúng theo sau

*

Hướng dẫn giải

a, Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác vuông ABC có:

BC2= AB2+ AC2

BC2= 52+ 72

BC2= 74

Suy ra BC = √74

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giac vuông ABC: AB2 = BD.BC

=> BD = AB2/BC => x = 25/√74

DC = BC - BD = √74 - 25/√74 = 49/√74

Vậy x = 25/√74 với y = 49/√74

b) Ta có: BC= BD + DC = 2 + 6 = 8

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

AB2= BD.BC = 2.8 = 16. Suy ra AB = 4 tuyệt x = 4.

AC2= DC.BC = 6.8 = 48. Suy ra AC = √48 giỏi y = √48

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, mặt đường cao AH. Tính BC, AC, AH biết AB = 15cm, HC = 16cm.

*

Hướng dẫn giải

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có:

AC2 = CH.BC = 16.BC

AB2 + AC2 = BC2

⇔ 152 + 16.BC = BC2

⇔ BC2 - 16.BC - 225 = 0

⇔ BC2 - 25BC + 9BC - 225 = 0

⇔ BC(BC - 25) + 9(BC - 25) = 0

⇔ (BC - 25)(BC + 9) = 0

⇔ BC = 25 hoặc BC = -9(loại)

=> AC2 = 16.BC = 16.25 = 400

=> AC = 20

+ Xét tam giác vuông ABC có: AH.BC = AB.AC (hệ thức lượng)

Vậy BC=25(cm); AC=20(cm); AH=12(cm)

Bài 3: Cho tam giác ABC bao gồm AB = 48cm, BC = 50cm, AC = 14cm. Tính độ nhiều năm phân giác giác góc C

*

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC, ta có

BC2 = 502 = 2500

AB2 + AC22 = 142 + 482 = 2500

=> BC2 = AB2 + AC2

=> Tam giác ABC vuông tại A

Có DA/DB = CA/CB = 14/50 = 7/25 (tính hóa học tia phân giác)

=> DB = 25/7 DA.

Xem thêm: Giải Bài 1, 2, 3 Trang 106 Sgk Toán 5 Trang 106 Luyện Tập Chung

Ta có DA + DB = AB

⇔ domain authority + 25/7 domain authority = AB ⇔ DA. 32/7 = 48 ⇔ da = 10,5cm

Xét tam giác vuông ACD, theo đinh lí Pi-ta-go ta có

CD2 = AC2 + AD2 = 142 + 10,52 = 306,25 => CD = 17,5cm

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông trên A, AB=24cm, AC=32cm. Đường trung trực của BC cắt AC, BC theo thiết bị tự D và E. Tính DE.